深入学习c++,动态规划算法

积极向保温杯 2023-11-27 14:13:17  51455

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Dynamic Programming

动态规划（Dynamic Programming，DP）算法是一种解决最优化问题的算法。它通过将原问题分解为子问题，并在求解子问题的过程中保存结果，避免了重复计算，从而大大提高了算法效率。动态规划算法通常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划算法一般包括以下步骤：

1. 定义状态：定义状态表示原问题和子问题的某些属性，以便使用状态来描述问题。

2. 状态转移方程：根据状态之间的关系，得出状态转移方程，即如何从一个子问题的状态推导出另一个子问题的状态。这个方程通常是递推的，也就是当前问题的解可以由已经解决的子问题的解递推得到。

3. 边界条件：确定问题的边界，即最小子问题的解，以便在递推中能够终止。

4. 问题求解：按照递推顺序计算子问题的解，直到计算出原问题的解。

下面以背包问题为例，介绍动态规划算法的应用。

背包问题是指有一个背包，它的容量为C，现在有一些物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。需要选择一定数量的物品放入背包中，使得放入的物品总重量不超过背包容量，且总价值最大。如何选择物品才能使总价值最大？

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。首先，定义状态`dp[i][j]`表示前i个物品，背包容量为j时的最大价值。然后，根据状态之间的关系，得出状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中，第一个状态表示不选第i件物品时的最大价值，即背包容量为j时前i-1个物品的最大价值；第二个状态表示选第i件物品时的最大价值，即背包容量为j-w[i]时前i-1个物品的最大价值加上第i件物品的价值。

然后，我们需要确定问题的边界，即最小子问题的解。当背包容量为0时，无论有多少件物品，它们的总价值都为0；当没有物品可选时，无论背包容量是多少，它们的总价值也为0。因此，边界条件为：

dp[0][j] = 0 # 没有物品可选
dp[i][0] = 0 # 背包容量为0

最后，按照递推顺序计算子问题的解，直到计算出原问题的解：

def knapsack(w, v, C):
    n = len(w)
    dp = [[0 for j in range(C+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, C+1):
            if j >= w[i-1]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][C]

以上就是动态规划算法的基本思想和应用示例。希望对您有所帮助！

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